§12.Інтервальні оцінки. Надійна ймовірність. Надійні інтервали.
В попередній лекції ми розглядали методи побудови і властивості точкових оцінок, тобто оцінок, які визначаються одним числом. Звичайно, при користуванні такими оцінками ми не можемо вказати їх точність, тобто наскільки вони відхиляються від істинних значень параметрів. Зрозуміло, що точкові оцінки залежать від обсягу вибірки. Зокрема, якщо обсяг вибірки малий, то точкова оцінка може суттєво відрізнятися від оцінюваного параметра. Тому зручніше користуватися інтервальними оцінками, тобто такими оцінками, які визначаються двома числами - кінцями інтервалу.
Нехай за даними вибірки ми знайшли точкову оцінку EMBED Equation.3 параметра EMBED Equation.3 . Зрозуміло, що EMBED Equation.3 буде тим точніше визначати параметр EMBED Equation.3 , чим меншою є величина EMBED Equation.3 . Тобто, для малого EMBED Equation.3 маємо
EMBED Equation.3 . (1)
Оцінка буде тим точнішою,чим менше EMBED Equation.3 . Число EMBED Equation.3 характеризує точність оцінки. Проте на основі даних вибірки ми не можемо стверджувати однозначно, що оцінка EMBED Equation.3 задовольняє нерівність (1). Ми можемо лише говорити про те, що нерівність (1) здійснюється з деякою ймовірністю EMBED Equation.3 .
Надійністю (або надійною ймовірністю) оцінки EMBED Equation.3 за EMBED Equation.3 називається ймовірність EMBED Equation.3 ,
з якою здійснюється нерівність (1): EMBED Equation.3 . (2)
Замінивши нерівність (1) тотожною подвійною нерівністю
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , отримаємо
EMBED Equation.3 , (3)
тобто ймовірність того, що інтервал EMBED Equation.3 (4)
заключає в собі невідомий параметр EMBED Equation.3 , дорівнює EMBED Equation.3 .
Такий інтервал називають надійним інтервалом (інтервалом довіри).
На практиці надійність оцінки звичайно задається наперед. Найчастіше задають EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 . Тобто, якщо ми наперед вирішуємо нехтувати можливістю появи події з ймовірністю 0,01, то виберемо надійність EMBED Equation.3 ; тощо.
Кінці надійного інтервалу (4) є випадковими величинами, вони залежать від обсягу вибірки. Оскільки оцінюваний параметр EMBED Equation.3 не є випадковою величиною, то правильним є твердження, що надійний інтервал заключає в собі параметр EMBED Equation.3 з ймовірністю EMBED Equation.3 .
Метод надійних інтервалів в статистиці започаткований Р.Фішером і Ю.Нейманом.
Розглянемо деякі задачі на побудову надійних інтервалів.
Надійні інтервали для оцінки математичного сподівання
нормального розподілу при відомому EMBED Equation.3 .
Нехай відомо, що випадкова величина Х розподілена нормально і EMBED Equation.3 - її середнє квадратичне відхилення. Потрібно побудувати інтервальну оцінку для невідомого математичного сподівання EMBED Equation.3 . Точковою оцінкою для математичного сподівання є вибіркове середнє EMBED Equation.3 . (5)
Середнє вибіркове EMBED Equation.3 є різним для окремо взятих вибірок з генеральної сукупності, отже його можна розглядати як випадкову величину EMBED Equation.3 , а значення EMBED Equation.3 як однаково розподілені незалежні випадкові величини EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ). Оскільки значення EMBED Equation.3 незалежні, то
EMBED Equation.3 , ...
